CALCULO

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA PARÁBOLA :

http://www.profesorenlinea.cl/imagenmatematica/funcion_cuadratica_image002.jpg

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. dirección de la parábola:

Para saber la dirección de la parábola, primero debemos ubicar "a" y tenemos que identificar si es mayor o menor que cero ( 0 ). Si es mayor, abre hacia arriba y si es menor abre hacia abajo.

2. Eje de simetría:

El eje de simetría lo podemos encontrar con la fórmula:

Es el punto en el eje X donde la parábola se dividirá en dos partes exactamente iguales.

3. vértice:

Para hallar el vértice, únicamente habría que remplazar en la ecuación cuadrática el resultado que nos da en el eje de simetría. El vértice es el punto más alto o más bajo de la gráfica correspondiente a dicha función. El vértice se encuentra en el plano de simetría de la parábola; cualquier cosa que suceda a la izquierda de este punto será un reflejo exacto de lo que sucede a la derecha.

4. intercepto:

EN EL EJE Y:

Para hallar el intercepto con el eje y, simplemente debemos reemplazar en la ecuación cuadrática la "x" por el 0, y el resultado que nos de, seria el punto en el cual la gráfica toca al eje Y.

EN EL EJE X:

Para hallar el intercepto o los interceptos en el eje X debemos utilizar la formula:

Sí el número de la raíz en negativo, es decir, un número imaginario, eso quiere decir que la recta no toca en ningún momento al eje X, y en este caso para poder graficar tendríamos que tabular.

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1:

Representar la función f(x) = 15x² − 20x + 8.

1. DIRECCIÓN DE LA PARÁBOLA:

15 > 0 (por lo tanto la gráfica abriría hacia arriba).

2. EJE DE SIMETRÍA:

3. VÉRTICE:

4. INTERCEPTOS:

EN EL EJE Y:

EN EL EJE X:

Como podemos observar, en la raíz nos da un número negativo, gracias a esto sabemos que la gráfica no va a tocar a el eje X. Ahora para poder graficar tendremos que tabular.

GRÁFICA:

EJEMPLO 2:

Representar la función f(x) = x² − 2x − 3.

1. DIRECCIÓN DE LA PARÁBOLA:

1 > 0 (por lo tanto la gráfica abriría hacia arriba).

2. EJE DE SIMETRÍA:

3. VÉRTICE:

4. INTERCEPTOS:

EN EL EJE Y:

EN EL EJE X:

GRÁFICA:

EJEMPLO 3:

Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba desde una altura de 600 m sobre el suelo. Su altura h(t) en metros sobre el suelo, después de t segundos, está dada por:

 

• ¿Cuál es la altura del proyectil después de 1 segundo?
• ¿Después de cuánto tiempo vuelve a estar a una altura de 600 m sobre el suelo?
• ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?. ¿Cuánto tiempo gasta para alcanzarla?

SOLUCIÓN:

1. Estaría a la altura de 792 metros. ya que :

2. Sí hallamos el eje de simetría que es el punto medio de la gráfica, y sabemos que en 0 esta a 600 m, pues simplemente tendríamos que duplicar la distancia del 0 al eje de simetría que es 12,5 que en total seria 25.    

3. La altura máxima que alcanza son 1850 m. Y lo hace cuando lleva 12,5 segundos en el aire.

GRÁFICA:

VÍDEO EXPLICATIVO:

https://www.youtube.com/watch?v=z6sN0lGfLVM&t=3s